Question

【題目】如圖，己知函數y=﹣x+4的圖象與坐標軸的交點分別為點A、B，點C與點B關于x軸對稱，動點P、Q分別在線段BC、AB上（點P不與點B、C重合）．且∠APQ=∠ABO

（1）點A的坐標為 ，AC的長為 ；

（2）判斷∠BPQ與∠CAP的大小關系，并說明理由；

（3）當△APQ為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（3，0），5；（2）見解析；（3）P點坐標為（0，﹣1），（0，）．

【解析】

試題分析：（1）利用坐標軸上點的坐標特征可求出A、B點的坐標，再利用關于x軸對稱的點的坐標特征得到C點坐標，然后利用勾股定理可計算出AC的長；

（2）利用對稱性質得到AB=AC，則∠1=∠2，而∠APQ=∠1，所以∠2=∠APQ，再根據三角形外角性質得∠BPA=∠2+∠3，易得∠BPQ=∠3；

（3）分類討論：當PA=PQ，如圖1，根據等腰三角形的性質得∠PQA=∠PAQ，利用三角形外角性質和等量代換可得∠PQA=∠BPA，則BP=BA=5，所以OP=BP﹣OB=1，于是得到此時P點坐標為（0，﹣1）；當AQ=AP，由于∠AQP=∠APQ，∠AQP=∠BPA，兩者相矛盾，此情況不存在；當QA=QP，如圖2，則∠APQ=∠PAQ，由于∠1=∠APQ，則∠1=∠PAQ，所以PA=PB，設P（0，t），則PB=PA=4﹣t，在Rt△OPA中利用勾股定理得到t2+32=（4﹣t）2，解得t=，從而可得到此時P點坐標為（0，）．

解：（1）當y=0時，﹣x+4=0，解得x=3，則A（3，0），

當x=0時，y=﹣x+4=4，則B（0，4），

∵點C與點B關于x軸對稱，

∴C（0，﹣4），

∴AC==5；

故答案為（3，0），5；

（2）∠BPQ=∠CAP．理由如下：

∵點C與點B關于x軸對稱，

∴AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵∠APQ=∠1，

∴∠2=∠APQ，

∵∠BPA=∠2+∠3，

即∠BPQ+∠APQ=∠2+∠3，

∴∠BPQ=∠3；

（3）當PA=PQ，如圖1，則∠PQA=∠PAQ，

∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，

∴BP=BA=5，

∴OP=BP﹣OB=1，

∴P（0，﹣1）；

當AQ=AP，則∠AQP=∠APQ，

而∠AQP=∠BPA，所以此情況不存在；

當QA=QP，如圖2，則∠APQ=∠PAQ，

而∠1=∠APQ，

∴∠1=∠PAQ，

∴PA=PB，

設P（0，t），則PB=4﹣t，

∴PA=4﹣t，

在Rt△OPA中，∵OP2+OA2=PA2，

∴t2+32=（4﹣t）2，解得t=，

∴P（0，），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，﹣1），（0，）．