Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、F分別在AB、AC上，CF=CB，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE，連接EF．

（1）求證：△BCD≌△FCE；

（2）若EF∥CD，求∠BDC的度數．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）由旋轉的性質可得：CD=CE，再根據同角的余角相等可證明∠BCD=∠FCE，再根據全等三角形的判定方法即可證明△BCD≌△FCE；

（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，進而可求出∠BDC的度數．

【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE，

∴CD=CE，∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，

在△BCD和△FCE中，

，

∴△BCD≌△FCE（SAS）．

（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，

∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，

∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，

∵EF∥CD，

∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，

∴∠BDC=90°．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、同角的余角相等、旋轉的性質、平行線的性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．