Question

【題目】如圖17，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF.

(1)求證：BD＝CD.

(2)如果AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

(3)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD為正方形？(寫出條件即可，不要求證明)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AFBD為矩形；證明見解析；（3）AB=AC，且∠BAC=90°．

【解析】

試題（1）證明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根據條件AF=BD可利用等量代換可得BD=CD；

（2）首先判定四邊形AFBD為平行四邊形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，進而可得四邊形AFBD為矩形；

（3）當AB=AC，且∠BAC=90°時，四邊形AFBD為正方形，首先證明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，進而可得四邊形AFBD為正方形．

試題解析：（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD．

∵E是AD的中點，

∴DE=AE，

在△AEF與△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）答：四邊形AFBD為矩形；

解：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四邊形AFBD為平行四邊形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDA=90°，

∴四邊形AFBD為矩形；

（3）AB=AC，且∠BAC=90°；

∵AB=AC，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=45°，

∴AD=DB，

∴四邊形AFBD為正方形．