Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M(m，0)為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，可得矩形PQNM．如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長(zhǎng)；

(3)當(dāng)矩形PQNM的周長(zhǎng)最大時(shí)，m的值是多少？并求出此時(shí)的△AEM的面積；

(4)在(3)的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ，過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方)．若FG＝2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周長(zhǎng)＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【解析】

（1）利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）先確定出拋物線對(duì)稱(chēng)軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結(jié)論判斷出矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，確定出m，進(jìn)而求出直線AC解析式，即可；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，判斷出N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

(1)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．

令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3或x＝l，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)．

(2)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1．

∵M(m，0)，

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．

(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，m＝﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

設(shè)直線AC的解析式y＝kx+b，

∴

解得k＝l，b＝3，

∴解析式y＝x+3，

令x＝﹣2，則y＝1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝AM×EM＝．

(4)∵M(﹣2，0)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣l，

∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，

∴DQ＝DC，

把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，

∴D(﹣1，4)，

∴DQ＝DC＝．

∵FG＝2DQ，

∴FG＝4．

設(shè)F(n，﹣n2﹣2n+3)，則G(n，n+3)，

∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方且FG＝4，

∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．

解得n＝﹣4或n＝1，

∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．