Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有兩個實數根x1、x2 ．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2，

∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣ ，

∴k的取值范圍為k≥﹣ ；

（2）解：∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2，

∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，

∵x1+x2=3x1x2﹣6，

∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，

∴k1=2，k2=﹣ ，

∵k≥﹣ ，

∴k=2．

【解析】（1）根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac的意義得到△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范圍；（2）根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系得到x1+x2=2（k+1），x1x2=k2 ， 則2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，利用因式分解法解得k1=2，k2=﹣ ，然后由（1）中的k的取值范圍即可得到k的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對根與系數的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．