Question

【題目】已知點A、D在直線l的同側．

（1）如圖1，在直線l上找一點C．使得線段AC+DC最小（請通過畫圖指出點C的位置）；

（2）如圖2，在直線l上取兩點B、E，恰好能使△ABC和△DCE均為等邊三角形．M、N分別是線段AC、BC上的動點，連結DN交AC于點G，連結EM交CD于點F．

①當點M、N分別是AC、BC的中點時，判斷線段EM與DN的數量關系，并說明理由；

②如圖3，若點M、N分別從點A和B開始沿AC和BC以相同的速度向點C勻速運動，當M、N與點C重合時運動停止，判斷在運動過程中線段GF與直線1的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①EM=DN②FG∥l

【解析】

（1）先作出點A關于直線l的對稱點A'連接DA'交直線l于點C；

（2）①先判斷出CM=CN，∠DCN=∠ECM=120°，進而判斷出△CDN≌△CEM，即可得出結論；

②同①的方法判斷出△CDN≌△CEM，得出∠CDN=∠CEM，進而判斷出△DCG≌△ECF，得出CF=CG，得出△CFG是等邊三角形即可得出結論．

（1）如圖1所示，點C就是所求作；

（2）①EM=DN，理由：

∵點M、N分別是AC、BC的中點，

∴CM=AC，CN=BC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∴∠ECM=120°，CM=CN，

∴△CDE是等邊三角形，

∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠NCD=120°，

在△CDN和△CEM中，，

∴△CDN≌△CEM，

∴EM=DN；

②FG∥l，理由：如圖3，連接FG，

由運動知，AM=BN，

∵AC=BC，

∴CM=BN，

在△CDN和△CEM中，，

∴△CDN≌△CEM，

∴∠CDN=∠CEM，

∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°=∠DCE，

在△DCG和△ECF中，，

∴△DCG≌△ECF，

∴CF=CG，

∵∠FCG=60°，

∴△CFG是等邊三角形，

∴∠CFG=60°=∠ECF，

∴FG∥BC，

即：FG∥l．