Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標為，且與軸交于點C，與軸交于A、B兩點（點A在點B的右側）．

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥軸，交直線AC于點D；作PE∥x軸，交直線AC于點E，以PD，PE為邊的矩形PEFD，問矩形PEFD周長是否存在最大值？若存在，求出此時P點的坐標及最大值；若不存在，請說明理由；

（3）在問題（2）的條件下，P點滿足∠DAP=90°，且點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x24x＋3（2）存在，當P（，-），矩形PEFD周長最大值為9（3）F1（2，1），F2（2＋，1）．

【解析】

（1）已知了拋物線的頂點坐標，可將拋物線的解析式設為頂點式，然后將函數圖象經過的C點坐標代入上式中，即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出A點坐標，可知△AOC是等腰直角三角形，再求出直線AC的解析式，由題意可知矩形PEFD為正方形，故矩形PEFD周長等于4DP，設P（x, x24x＋3）,再表示出D點坐標及DP的長，根據二次函數的性質即可求出最大值；

（3）根據∠DAP=90°，過P點作AP⊥AC于拋物線的交點即為P點，根據平行四邊形的性質知：P、F的縱坐標互為相反數，可據此求出F點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出F點的坐標．

（1）∵拋物線的頂點為（2，1），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x2）21，

將C（0，3）代入上式，得：

3＝a（02）21，a＝1；

∴y＝（x2）21，即y＝x24x＋3；

（2）令y=0，即x24x＋3=0

解得x1=1,x2=3

∴A（3,0）

∴CO=AO

∴△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=45°

設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

把A（3,0），C（0，3）代入得

解得

∴直線AC的解析式為y=-x+3

∵PE∥x軸，

∴∠DPE=∠CAO=45°

∴∠EDP=90°-∠DPE=45°

∴DP=PE

故矩形PEFD為正方形，

設P（x, x24x＋3）,則D（x，-x+3）

∴DP=（-x+3）-（x24x＋3）=-x2+3x

∴矩形PEFD周長C=4DP=-4x2+12x=-4(x2-3x)= -4(x-)2+9

故存在當x=時，即P（，-），矩形PEFD周長最大值為9；

（3）如圖，過P點作AP⊥AC于拋物線的交點即為P點，此時∠DAP=90°，

∵直線AC的解析式為y=-x+3

∴可設直線AP的解析為y=x+p

把A（3,0）代入得0=3+p

解得p=-3

∴直線AP的解析為y=x-3

聯立

解得x1=3,y=0或x=2，y=-1

∴P（2,-1）

∵A、P、E、F為頂點的平行四邊形

∴P、F的縱坐標互為相反數，

∴可設F（x，1），代入拋物線可得x24x＋3＝1，

解得x1＝2，x2＝2＋；

∴符合條件的F點有兩個，

即F1（2，1），F2（2＋，1）．