Question

如圖，在直角坐標平面內，O為坐標原點，A點的坐標為（1，0），B點在x軸上且在點A的右側，AB＝OA，過點A和B作x軸的垂線分別交二次函數y＝x²的圖象于點C和D，直線OC交BD于M，直線CD交y軸于點H。記C、D的橫坐標分別為x_C，x_D，點H的縱坐標y_H。

（1）證明：①S_△CMD∶S梯形_ABMC＝2∶3

②x_C·x_D＝－y_H

（2）若將上述A點坐標（1，0）改為A點坐標（t，0），t＞0，其他條件不變，結論S_△CMD：S_梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？請說明理由。

（3）若A的坐標（t，0）（t＞0），又將條件y＝x²改為y＝ax²（a＞0），其他條件不變，那么X_C、X_D和y_H又有怎樣的數量關系？寫出關系式，并證明。

Answer 1

解：（1）由已知可得點B的坐標為（2，0）點C的坐標為（1，1），點D的坐標為（2，4），且直線OC的函數解析式為y＝x。

∴點M的坐標為（2，2），易得S_△CMD＝1，S_梯形ABMC＝ ………………（1.5＇）

∴S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3，即結論①成立。

設直線CD的函數解析式為y＝kx＋b，則

                  即

∴直線CD的解析式為y＝3x－2。

由上述可得點H的坐標為（0，－2），即y_H＝－2 ………………………（2.5＇）

∴x_C·x_D＝－y_H.     即結論②成立    ………………………………………………（3＇）

（2）結論S_△CMD：S_梯形ABMC＝2:3仍成立. ……………………………………………（4＇）

理由如下：∵點A的坐標為（t，0），（t＞0）.

則點B的坐標為（2t，0）

從而點C的坐標為（t，t²），點D的坐標為（2t，4t²）.

設直線OC的解析式為y＝kx，則t²＝kt       得k＝t

∴直線OC的解析式為y＝tx  ……………………………………（5＇）

又設M的坐標為（2t，y）

∵點M在直線OC上

∴當x＝2t時，y＝2t²

∴點M的坐標為（2t，2t²）   ……………………………………（6＇）

∴S_△CMD：S_梯形ABMC＝·2t²·t∶（t²＋2t²）·t

                                      ＝t³∶（t³）

＝  …………………………………………（7＇）

（3）x_C，x_D和y_H有關數量關系x_C·x_D＝－y_H. …………………………………（8＇）

由題意，當二次函數的解析式為y＝ax²（a＞0），且點A的坐標為（t，0）時，點C的坐標為（t，at²），點D的坐標為（2t，4at²）   …………………………（9＇）

設直線CD的解析式為y＝kx＋b

則                得

∴CD的解析式為y＝3atx－2at² ………………………………………………（11＇）

則H的坐標為（0，－2at²）即y_H＝－2at²       …………………………………（11.5＇）

∵x_C·x_D＝t·2t＝2t²  ………………………………………… …………………（12＇）

∴x_C·x_D＝－y_H.