Question

已知：如圖①，正方形ABCD的邊長是a，正方形AEFG的邊長是b，且點F在AD上，連接DB，BF，（以下問題的結果可用a，b表示）．
（1）觀察計算：△DBF的面積S=

 

（2）圖形變式：
將圖①中的正方形AEFG繞點A順時針方向旋轉45°得到圖②，其他條件不變，請你求出圖②中△DBF的面積S；
（3）探究發現：
當a＞2b時，若把圖①中的正方形AEFG繞點A旋轉任意角度，在旋轉過程中，△DBF的面積S是否能達到最大值、最小值？如果能達到，請畫出圖形，并求出最大值、最小值；如果達不到，請說明理由．（圖③可用來畫圖）．

Answer 1

分析：（1）根據DF=AD-AF，求三角形的底邊DF，高為AB，根據三角形的面積公式計算；
（2）由正方形的性質可知AF∥BD，則△BDF與△BDA同底等高，根據S_△DBF=S_△DBA求面積；
（3）如圖，在正方形ABCD外作正方形AEFG，此時，OF值最大，在正方形ABCD內作正方形AEFG，此時，OF最小，而BD=

2

a，分別計算OF的最大、最小值，求△DBF的面積的最大值、最小值．

解答：解：（1）∵AEFG是正方形，且邊長是b，
∴Rt△AEF中，由勾股定理可求AF=

2

b，
∴DF=a-

2

b，
∴S_△DBF=

1

2

DF•AB=

1

2

（a-

2

b）a=

1

2

a²-

2

2

ab；

（2）∵BD和AF分別是正方形ABCD與AEFG的對角線，
∴∠DBA=∠FAG=45°．
∴BD∥AF
∴S_△DBF=S_△DBA
又∵S_△DBA=

1

2

BA•AD=

1

2

a²，
∴S_△DBF=

1

2

a²；

（3）當a＞2b時，存在最大值和最小值．
∵△BDF的底邊BD=

2

a
∴當F點到BD的距離取得最大、最小值時，S_△DBF取得最大值、最小值．
當點C、A、F三點在同一直線上時，如圖③，
連接BF、DF，
S_△DBF的最大值=

2

2

a（

2

2

a+

2

b）=

1

2

a²+ab，
S_△DBF的最小值=

2

2

a（

2

2

a-

2

b）=

1

2

a²-ab．

點評：本題考查了旋轉的性質的運用，正方形的性質．關鍵是通過旋轉確定三角形的底和高，發現三角形底和高的最大值和最小值．