Question

【題目】（本小題滿分10分）

如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D；連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC．

（1）求證：直線DM是⊙O的切線；

（2）求證：DE2＝DF·DA．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接DO，并延長交⊙O于點G，連接BG；易證∠BAD＝∠DAC；根據圓周角定理可得∠G＝∠BAD；即可得∠MDB＝∠G；由∠G＋∠BDG＝90°，∠MDB＋∠BDG＝90°即可得直線DM是⊙O的切線；（2）連接BE，先證∠EBD＝∠BED，即可得DB＝DE，再證△DBF∽△DAB，根據相似三角形的性質可得BD2＝DF·DA，所以DE2＝DF·DA．

試題解析：

證明：（1）如圖1，連接DO，并延長交⊙O于點G，連接BG；

∵點E是△ABC的內心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．

∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，

∵DG為⊙O的直徑，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．

∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直線DM是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接BE．

∵點E是△ABC的內心，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．

∴∠EBD＝∠BED，

∴DB＝DE．

∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，

∴△DBF∽△DAB，

∴BD2＝DF·DA．

∴DE2＝DF·DA．