Question

【題目】數(shù)學(xué)問(wèn)題：用邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形和正六邊形能否進(jìn)行平面圖形的鑲嵌？

問(wèn)題探究：為了解決上述數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們采用分類(lèi)討論的思想方法去進(jìn)行探究．

探究一：從正三角形、正方形和正六邊形中任選一種圖形，能否進(jìn)行平面圖形的鑲嵌？

第一類(lèi)：選正三角形．因?yàn)檎�三角形的每一個(gè)內(nèi)角是60°，所以在鑲嵌平面時(shí)，圍繞某一點(diǎn)有6個(gè)正三角形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以用正三角形可以進(jìn)行平面圖形的鑲嵌．

第二類(lèi)：選正方形．因?yàn)檎�方形的每一個(gè)內(nèi)角是90°，所以在鑲嵌平面時(shí)，圍繞某一點(diǎn)有4個(gè)正方形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以用正方形也可以進(jìn)行平面圖形的鑲嵌．

第三類(lèi)：選正六邊形．(仿照上述方法，寫(xiě)出探究過(guò)程及結(jié)論)

探究二：從正三角形、正方形和正六邊形中任選兩種圖形，能否進(jìn)行平面圖形的鑲嵌？

第四類(lèi)：選正三角形和正方形

在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正三角形和y個(gè)正方形的內(nèi)角可以拼成個(gè)周角．根據(jù)題意，可得方程

60x+90y＝360

整理，得2x+3y＝12．

我們可以找到唯一組適合方程的正整數(shù)解為.

鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩�繞著3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以用正三角形和正方形可以進(jìn)行平面鑲嵌

第五類(lèi)：選正三角形和正六邊形．(仿照上述方法，寫(xiě)出探究過(guò)程及結(jié)論)

第六類(lèi)：選正方形和正六邊形，(不寫(xiě)探究過(guò)程，只寫(xiě)出結(jié)論)

探究三：用正三角形、正方形和正六邊形三種圖形是否可以鑲嵌平面？

第七類(lèi)：選正三角形、正方形和正六邊形三種圖形．(不寫(xiě)探究過(guò)程，只寫(xiě)結(jié)論)，

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析

【解析】

根據(jù)題意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整數(shù)解，即可得出答案．

解：第五類(lèi)：設(shè)x個(gè)正三角形，y個(gè)正六邊形，

則60x+120y＝360，

x+2y＝6，

正整數(shù)解是或，

即鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩�繞著2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形（或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形）的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以用正三角形和正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；

第六類(lèi)：設(shè)x個(gè)正方形，y個(gè)正六邊形，

則90x+120y+＝360，

3x+4y＝12，

此方程沒(méi)有正整數(shù)解，

即鑲嵌平面時(shí)，不能在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩�繞著正方形和正六邊形的內(nèi)角拼成一個(gè)周角，所以不能用正方形和正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌；

第七類(lèi)：設(shè)x個(gè)正三角形，y個(gè)正方形，z個(gè)正六邊形，

則60x+90y+120z＝360，

2x+3y+4z＝12，

正整數(shù)解是，

即鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩�繞著1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形、1個(gè)正六邊的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以用正三角形、正方形、正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌．