Question

【題目】如圖，是的重心，，，的延長線分別交，，于點，，，的值為________；

如圖，是的重心．，連接，，，

①當，證明：；

設是的重心，，，，當為直角三角形時，請直接寫出，，之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②.

【解析】

（1）根據重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，可得=2，由此即可求解；（2）根據三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，可得BG=2GD；在Rt△AGC中，GD是斜邊上的中線，所以AC=2GD，由此即可證得結論；（3）設FG=x，EG=y，則CG=2x，AG=2y，在Rt△AGC中，根據勾股定理可得①；在Rt△AGF中，根據勾股定理可得②；在Rt△EGC中，根據勾股定理可得③；②+③可得，所以.

（1）∵G是△ABC的重心，

∴=2，

∴=6.

即的值為6．

（2）∵G是△ABC的重心，

∴BG=2GD；

在Rt△AGC中，GD是斜邊上的中線，

∴AC=2GD，

∴BG=AC．

（3）如圖，

設FG=x，EG=y，則CG=2x，AG=2y，

在Rt△AGC中，∠AGC=90°，根據勾股定理可得，即①；

在Rt△AGF中，∠AGF=90°，根據勾股定理可得，由AF=AB即可得，即②；

在Rt△EGC中，∠EGC=90°，根據勾股定理可得，由EC=BC即可得，即③；

②+③可得，即

∵，

∴.