Question

如圖，點是半圓的半徑上的動點，作于．點是半圓上位于左側的點，連結交線段于，且．

(1) 求證：是⊙O的切線．
(2) 若⊙O的半徑為,,設．
①求關于的函數關系式．
②當時，求的值．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）①y=x²+144（0≤x≤4），②.

解析試題分析：（1）要證PD是⊙O的切線只要證明∠PDO=90°即可；
（2）①分別用含有x，y的式子，表示OP²和PD²這樣便可得到y關于x的函數關系式；
②已知x的值，則可以根據關系式求得PD的值，已PC的值且PD=PE，從而可得到EC，BE的值，這樣便可求得tanB的值．
試題解析：（1）證明：連接OD．

∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．
∴PD是⊙O的切線．
（2）①連接OP．
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=x²+192．
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=x²+144．
∴y=x²+144（0≤x≤4）.
②當x=時，y=147，
∴PD=7，
∴EC=，
∵CB=3，
∴在Rt△ECB中，tanB=．
考點: 1.二次函數綜合題；2.切線的判定；3.解直角三角形.