Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC邊上一動點，G是BC邊上的一動點，GE∥AD分別交AC、BA或其延長線于F、E兩點

（1）如圖1，當BC＝5BD時，求證：EG⊥BC；

（2）如圖2，當BD＝CD時，FG+EG是否發生變化？證明你的結論；

（3）當BD＝CD，FG＝2EF時，DG的值＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不變；EG+FG＝2；（3）或．

【解析】

（1）利用勾股定理得出BC，進一步得出BD，之后證明△BDA∽△BAC，所以∠BDA＝∠BAC＝90°，根據GE∥AD進一步得出結論即可；

（2）當BD=CD時，FG+EG不發生變化，且FG+EG=,利用△CFG∽△CAD進一步證明即可得出結論；

（3）分兩種情況：當F在CA的延長線上和E在BA的延長線上，據此分別畫出圖形，利用相似得出答案即可.

證明：（1）如圖1，

∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，

∴BC＝2，

∵BC＝5BD，

∴BD＝，

∴，

又∵∠DBA＝∠ABC，

∴△BDA∽△BAC，

∴∠BDA＝∠BAC＝90°，

∵EG∥AD，

∴EG⊥BC．

（2）FG＝EG＝2不變，

如圖2，

∵EG∥AD，

∴△CFG∽△CAD，

∴,

同理,

∵BD＝CD，

∴+＝+＝2，

∴EG+FG＝2AD，

∵BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴AD＝BC＝，

∴EG+FG＝2AD＝2．

（3）如圖，

當BD＝CD，FG＝2EF時，

則GE＝EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，

∴,,

∴=,

又BG+CG＝2，

∴BG＝，

∴DG＝BD＝BG＝；

如圖，

當BD＝CD，FG＝2EF時，

則GE＝EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，

∴,,

∴=,

又BG+CG＝2，

∴CG＝，

∴DG＝CD﹣CG＝．

綜上所知DG為或．