Question

某學校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米．校門關閉時，每個菱形的銳角度數為60°（如圖2）；校門打開時，每個菱形的銳角度數從60°縮小為10°（如圖3）．問：校門打開了多少米？（結果精確到1米，參考數據：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．

Answer 1

【答案】分析：先求出校門關閉時，20個菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時，20個菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可．
解答：解：如圖，校門關閉時，取其中一個菱形ABCD．
根據題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大門的寬是：0.3×20≈6（米）；
校門打開時，取其中一個菱形A₁B₁C₁D₁．
根據題意，得∠B₁A₁D₁=10°，A₁B₁=0.3米．
∵在菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∠B₁A₁O₁=5°，
∴在Rt△A₁B₁O₁中，
B₁O₁=sin∠B₁A₁O₁•A₁B₁=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B₁D₁=2B₁O₁=0.05232米，
∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米；
∴校門打開的寬度為：6-1.0464=4.9536≈5（米）．
故校門打開了5米．
點評：本題考查了菱形的性質，解直角三角形的應用，難度適中．解題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解．