Question

如下圖，在等腰ΔABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連結AP交BC于點E，連結BP交AC于點F。

（1）證明：∠CAE=∠CBF；

（2）證明：AE=BF；

（3）以線段AE，BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記ΔABC和ΔABG的面積分別為S_ΔABC和S_ΔABG，如果存在點P，能使S_ΔABC=S_ΔABG，求∠C的取值范圍。

Answer 1

證明：(1) ∵△是等腰△，是底邊上的高線，∴，

又∵, ∴△ ≌△，

∴, 即;       

(2) ∵, ，,

∴△ ≌△，∴;         

(3) 由(2)知△是以為底邊的等腰△，∴ 等價于，

1）當∠為直角或鈍角時，在△中，不論點在何處，均有，所以結論不成立;

2）當∠為銳角時， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此時，∠180°2∠，

只須180°2∠∠，解得 60°∠ 90°.