Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△CDE的頂點C點坐標為C（1，﹣2），點D的橫坐標為，將△CDE繞點C旋轉到△CBO，點D的對應點B在x軸的另一個交點為點A．

（1）圖中，∠OCE等于∠_____；

（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線上是否存在點P，使S△PAE=S△CDE？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BCD；（2）y=x2﹣x﹣；（3）存在；（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．

【解析】

（1）根據旋轉的性質易得∠OCE=∠BCD；

（2）（2）作CH⊥OE于H，如圖，根據旋轉的性質得CO=CE，CB=CD，OB=DE，則利用等腰三角形的性質得OH=HE=1，則E點坐標為（2，0），設B（m，0），D（，n），再利用兩點間的距離公式求得m、n的值，然后設頂點式y=a（x-1）2-2，再把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（3）先利用拋物線的對稱性得到A（-1，0），再根據旋轉的性質得△CDE≌△CBO，則S△CDE=S△CBO=3，設P（t，t2﹣t﹣），利用三角形面積公式得到關于t的方程，解關于t的一元二次方程求出t，從而可得到滿足條件的P點坐標．

解：（1）∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，

∴∠OCE=∠BCD；

故答案為BCD；

（2）作CH⊥OE于H，如圖，

∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，

∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，

∴OH=HE=1，

∴OE=2，

∴E點坐標為（2，0），

設B（m，0），D（，n），

∵CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2 ， CB2=（1﹣m）2+22 ， DE2=（2﹣）2+n2 ，

∴（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22 ， （2﹣）2+n2=m2 ，

∴m=3，n=﹣，

∴B（3，0），

設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣x﹣；

（3）存在．

A與點B關于直線x=1對稱，

∴A（﹣1，0），

∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，

∴△CDE≌△CBO，

∴S△CDE=S△CBO=23=3，

設P（t，t2﹣t﹣），

∵S△PAE=S△CDE ，

∴3|t2﹣t﹣|=3，

∴t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣=﹣1，

解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+，t2=1﹣，此時P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1）；

解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+，t2=1﹣，此時P點坐標為（1+，﹣1）或（1﹣，1）；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．