Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR=PS，則下列結論：①點P在∠A的角平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正確的有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS， ∴P在∠A的平分線上，故①正確；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正確；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正確；
由③得，△PQC是等邊三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，
∵①②③④都正確，
故選D．
根據到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，從而判斷出①正確，然后根據等邊對等角的性質可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根據內錯角相等兩直線平行可得QP∥AB，從而判斷出②正確，然后證明出△APR與△APS全等，根據全等三角形對應邊相等即可得到③正確，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正確．