Question

（2012•宜昌）如圖，△ABC和△ABD都是⊙O的內接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F兩點，點C為

AD

的中點．
（1）求證：OF∥BD；
（2）若

FE

ED

=

1

2

，且⊙O的半徑R=6cm．
     ①求證：點F為線段OC的中點；
     ②求圖中陰影部分（弓形）的面積．

Answer 1

分析：（1）由垂徑定理可知OC⊥AD，由圓周角定理可知BD⊥AD，從而證明OF∥BD；
（2）①由OF∥BD可證△ECF∽△EBD，利用相似比證明BD=2CF，再證OF為△ABD的中位線，得出BD=2OF，即CF=OF，證明點F為線段OC的中點；
②根據S_陰=S_扇形AOC-S_△AOC，求面積．

解答：（1）證明：∵OC為半徑，點C為弧AD的中點，
∴OC⊥AD，
∵AB為直徑，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD，
∴∠AFO=∠D=90°，
∴OF∥BD；

（2）證明：①∵點O為AB的中點，點F為AD的中點，
∴OF=

1

2

BD，
∵FC∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
又∵∠FEC=∠DEB，
∴△ECF∽△EBD，
∴

FC

BD

=

FE

ED

=

1

2

，
∴FC=

1

2

BD，
∴FC=FO，即點F為線段OC的中點，
②解：∵FC=FO，OC⊥AD，
∴AC=AO，
又∵AO=CO，
∴△AOC為等邊三角形，
∴S_陰=

60×π×62

360

-

1

2

×

3

2

×6×6=6π-9

3

（cm²）．
答：圖中陰影部分（弓形）的面積為（6π-9

3

）cm²．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理，扇形面積的計算．關鍵是熟練掌握各知識點的聯系及互相轉化．