Question

【題目】已知直線與拋物線有一個公共點，且．

（Ⅰ）求拋物線頂點的坐標（用含的代數式表示）；

（Ⅱ）說明直線與拋物線有兩個交點；

（Ⅲ）直線與拋物線的另一個交點記為．

（ⅰ）若，求線段長度的取值范圍；

（ⅱ）求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線頂點Q的坐標為（-，-）；（Ⅱ）理由見解析；

（Ⅲ）（i）5≤MN≤7.（ii）△QMN面積的最小值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線過點M（1，0），可得b=-2a，將解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+ )2- ,從而可得拋物線頂點Q的坐標為（- ，- ）.

（Ⅱ）由直線y=2x+m經過點M（1，0），可得m=-2.

由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判別式可得方程(*)有兩個不相等的實數根，從而可得直線與拋物線有兩個交點.

（Ⅲ）由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得點N（-2，-6）.

（i）根據勾股定理得，MN2=20（）2，再由-1≤a≤-，可得-2≤ ≤-1，從而可得<0，

繼而可得MN=3 ，從而可得MN的取值范圍.

（ii）作直線x=- 交直線y=2x-2于點E，得 E（-，-3），

從而可得△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM = ，即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）

因為關于a的方程（*）有實數根， 從而可和S≥ ，繼而得到面積的最小值.

試題解析：（Ⅰ）因為拋物線過點M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2- ,所以拋物線頂點Q的坐標為（-，-）.

（Ⅱ）因為直線y=2x+m經過點M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.

把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a<b，所以a<0，b>0，所以△>0，所以方程(*)有兩個不相等的實數根，故直線與拋物線有兩個交點.

（Ⅲ）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

即x2+(1- )x-2+=0，所以（x-1）（x+2-）=0,

解得x1=1,x2 =-2，所以點N（-2，-6）.

（i）根據勾股定理得，MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，

因為-1≤a≤-，由反比例函數性質知-2≤ ≤-1，所以<0，

所以MN=2 （ ）=3 ，所以5≤MN≤7.

（ii）作直線x=- 交直線y=2x-2于點E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，-3），

又因為M（1，0），N（-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0，

所以△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM= = ，

即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）

因為關于a的方程（*）有實數根，所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，即（8S-54）2≥（36 ）2，

又因為a<0，所以S= > ,所以8S-54>0，所以8S-54>0，

所以8S-54≥36，即S≥ ，

當S=時，由方程（*）可得a=- 滿足題意.

故當a=-，b =時，△QMN面積的最小值為.