Question

28、操作與探究：
（1）圖①是一塊直角三角形紙片．將該三角形紙片按如圖方法折疊，是點A與點C重合，DE為折痕．試證明△CBE等腰三角形；
（2）再將圖①中的△CBE沿對稱軸EF折疊（如圖②）．通過折疊，原三角形恰好折成兩個重合的矩形，其中一個是內接矩形，另一個是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個矩形為“組合矩形”．你能將圖③中的△ABC折疊成一個組合矩形嗎？如果能折成，請在圖③中畫出折痕；
（3）請你在圖④的方格紙中畫出一個斜三角形，同時滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點都在格點（各小正方形的頂點）上；
（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過折疊也能折成組合矩形（其中的內接矩形的四個頂點分別在原四邊形的四條邊上）．請你進一步探究，一個非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時，一定能折成組合矩形？

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質，那么CE就與BE相等，因此三角形CBE就是個等腰三角形．
（2）可選兩邊的中點進行折疊，如：選AB，AC的中點D，E，沿折痕DE將A折疊刀BC上，然后將B，C兩點與A點重合即可得出矩形．
（3）我們先看三角形內接正方形時各邊的關系，如圖：DEGH是個正方形，那么DE=HG=DH，如果我們過A引BC的垂線，交DE于N交BC于M，那么三角形BHD≌三角形DNA，三角形ANE≌三角形EGC．AN=DH=MN，BH+GC=DN+NE=DE，AN+MN=BH+GC+HG．因此AM=BC，由此可看出只要符合三角形的一邊和這個邊上的高相等即可通過折疊得出正方形．
（4）由于四邊形的對角線都和折痕平行，那么也就是與矩形的邊平行，所以四邊形要想能折出一個組合矩形，那么它的對角線就應該互相垂直．

解答：解：（1）∵點A與點C重合，
∴AD=DC，∠ADE=∠EDC，
∴DE是△ACB的中位線，
AE=BE，
∵AE=CE，
∴CE=BE，
∴△CBE是等腰三角形；

（2）如圖1所示（共有三種折法，折痕畫對均可）；

（3）如圖2所示（答案不唯一，只要體現出一條邊與該邊上的高相等即可）；

（4）當一個四邊形的兩條對角線互相垂直時，可以折成一個組合矩形．

點評：本題主要考查了動手作圖的能力，如果遇到想不出的圖形，可根據幾何知識，將圖形中的某些特殊關系找出來，然后再動手實踐．