Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為矩形，，，為直線上一動點，將直線繞點逆時針方向旋轉交直線于點；

（1）當點在線段上運動（不與重合）時，求證：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的條件下，設點的橫坐標為，線段的長度為，求出關于的函數解析式，并判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。
（3）直線上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

略

（1）證明：∵四邊形OABC為矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP   ----------------------3分
(2)   由（1）知OA·BQ=AP·BP   ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-=
即L=    (0＜m＜4)
=
∴當m="2" 時，   L（最小）=   -----------------6分
(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ為等腰三角形，則PO="PQ" .
當點P在線段AB上時，如圖    
       
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴(1,3)
當點P在線段AB的延長線上時，如圖   
     
此時△QBP≌△PAO 
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7              "
∴(7,3)                                       
當點P在線段AB的反向延長線上時，如圖
     
此時∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能與△OPA全等,
即PQ不可能與PO相等,
此時點P不存在.
綜上所述，知存在(1,3), (7,3).  ---------------9分