Question

解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數有什么聯系？
（1）x²-2x=0（2）x²+3x-4=0（3）x²-5x+6=0

方  程	x1	x2	x1+x2	x1．x2
（1）	0	2	2	0
（2）	-4	1	-3	-4
（3）	2	3	5	6

請同學們仔細觀察方程的解，你會發現方程的解與方程中未知數的系數和常數項之間有一定的關系．
一般的，對于關于x的方程x²+px+q=0（p，q為常數，p²-4q≥0）的兩根為x₁、x₂
則x₁+x₂=

-p

，x₁．x₂=

q

．
（2）運用以上發現，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x²-2x-7=0的兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂的值為

B

A．-2     B．2     C．-7     D．7
②已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩根，利用上述結論，不解方程，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）對于方程x²-2x=0、x²+3x-4=0、x²-5x+6=0可運用因式分解法求出解，然后進行兩根的和與積；根據表中的特點可得到x₁+x₂=p，x₁•x₂=q；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-3，然后變形x₁²+x₂²得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，再利用整體思想進行計算．

解答：解：表中答案為0、2、2、0；（2）-4、1、-3、-4；（3）2、3、5、6；
（1）-p，q；
（2）∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=1-2×（-3）=7．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了因式分解法解一元二次方程．