Question

【題目】如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：

（1）∠BOC的度數；
（2）BE+CG的長；
（3）⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OF；

根據切線長定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= =10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO=∠OFC=90°
∵∠BOC=90°
∴∠BOF+∠COF=90°，∠COF+∠FCO=90°。
∴∠BOF=∠FCO
∴△FCO∽△FOB
∴
∴OF= =4.8cm
【解析】（1）根據已知圓的切線，因此連接OF，根據切線長定理得出∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG，再根據平行線的性質證得∠ABC+∠BCD=180°，再證明∠OBE和∠OCF互余，即可求出∠BOC的度數。
（2）根據切線長第得出BE=BF，CF=CG，再在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC的長，然后根據BC=BF+CF=BE+CG,計算即可得出答案。
（3）先證明∠BOF=∠FCO，再證明△FCO∽△FOB，然后利用相似三角形的性質得出對應邊成比例，即可求出OF的長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質的相關知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．