Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．點P從點A出發，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運動，點Q從點D出發，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點C運動．已知動點P、Q同時發，當點Q運動到點C時，P、Q運動停止，設運動時間為t．
（1）求CD的長；
（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm²？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）16；（2）；（3）.

試題分析：（1）過點A作AM⊥CD于M，根據勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．
（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖示，由題可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此時，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根據勾股定理，求出BQ即可．
（3）此題要分三種情況進行討論：即①當點P在線段AB上，②當點P在線段BC上，③當點P在線段CD上，根據三種情況點的位置，可以確定t的值．
（1）如圖，過點A作AM⊥CD于M，
根據勾股定理，AD=10，AM=BC=8，
∴．∴CD=16.

（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，
點P在AB上，點Q在DC上，如圖，
由題知：BP=10-3t，DQ=2t，∴10-3t=2t，解得t=2．
此時，BP=DQ=4，CQ=12，∴.
∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）=.

（3）①當點P在線段AB上時，即時，如圖，
，解得.

②當點P在線段BC上時，即時，如圖，BP=3t-10，CQ=16-2t，
∴，化簡得：3t²-34t+100=0，△=-44＜0，
∴方程無實數解．

③當點P在線段CD上時，
若點P在Q的右側，即，則有PQ=34-5t，
，解得＜6，舍去.
若點P在Q的左側，即，則有PQ=5t-34，
，解得.
綜上所述，滿足條件的t存在，其值分別為.