Question

 

如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

⑴求的值；

⑵如圖①，設(shè)點(diǎn)C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點(diǎn)，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數(shù)解析式；

⑶設(shè)點(diǎn)P、Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個動點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請說明理由．

（圖②供選用）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）6

（2）

（3）存在

【解析】⑴ ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)D()

∴

∴c=6.

⑵過點(diǎn)D、B點(diǎn)分別作AC的垂線，垂足分別為E、F，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為M，

　∵AC 將四邊形ABCD的面積二等分，即：S△ABC=S△ADC   ∴DE=BF 

又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE

∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM    即AC平分BD

∵c=6.  ∵拋物線為

∴A（）、B（）

∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)   ∴M（）

設(shè)AC的解析式為y=kx+b，經(jīng)過A、M點(diǎn)

解得

直線AC的解析式為.

⑶存在．設(shè)拋物線頂點(diǎn)為N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A點(diǎn)為圓心，AB=為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP、PQ，此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP