Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E是AB上一點，點F是AD延長線上一點，且DF=BE，連接CE、CF．

（1）求證：CE=CF．

（2）在圖1中，若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

（3）根據你所學的知識，運用（1）、（2）解答中積累的經驗，完成下列各題，如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，且∠DCE=45°．

①若AE=6，DE=10，求AB的長；

②若AB=BC=9，BE=3，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）成立（3）①12；②7.5

【解析】

（1）先判斷出∠B=∠CDF，進而判斷出△CBE≌△CDE，即可得出結論；

（2）先判斷出∠BCE=∠DCF，進而判斷出∠ECF=∠BCD=90°，即可得出∠GCF=∠GCE=45°，得出△ECG≌△FCG即可得出結論；

（3）先判斷出矩形ABCH為正方形，進而得出AH=BC=AB，

①根據勾股定理得，AD=8，由（1）（2）知，ED=BE+DH，設BE=x，進而表示出DH=10-x，用AH=AB建立方程即可得出結論；

②由（1）（2）知，ED=BE+DH，設DE=a，進而表示出DH=a-3，AD=12-a，AE=6，根據勾股定理建立方程求解即可得出結論．

（1）在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠ADC，

∴∠B=∠CDF，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）成立，由（1）知，△CBF≌△CDE，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

∴∠ECF=∠BCD=90°，

∵∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°，

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF，

∴GE=DF+GD=BE+GD；

（3）如圖2，過點C作CH⊥AD交AD的延長線于H，

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=90°，

∵∠CHA=90°，

∴四邊形ABCH為矩形，

∵AB=BC，

∴矩形ABCH為正方形，

∴AH=BC=AB，

①∵AE=6，DE=10，根據勾股定理得，AD=8，

∵∠DCE=45°，

由（1）（2）知，ED=BE+DH，

設BE=x，

∴10+x=DH，

∴DH=10-x，

∵AH=AB，

∴8+10-x=x+6，

∴x=6，

∴AB=12；

②∵∠DCE=45°，

由（1）（2）知，ED=BE+DH，

設DE=a，

∴a=3+DH，

∴DH=a-3，

∵AB=AH=9，

∴AD=9-（a-3）=12-a，AE=AB-BE=6，

根據勾股定理得，DE2=AD2+AE2，

即：（12-a）2+62=a2，∴a=7.5，

∴DE=7.5．