Question

26、如圖，∠AOB=90°，將三角尺的直角頂點落在∠AOB的平分線OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F．
（1）證明：PE=PF；
（2）若OP=10，試探索四邊形PEOF的面積為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析：（1）如果過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．首先利用角平分線的性質得出PM=PN，然后由ASA證出△PME≌△PNF，從而得出PE=PF；
（2）首先證明四邊形ONPM是正方形，然后由（1）知△PME≌△PNF，則四邊形PEOF的面積=正方形ONPM的面積，又正方形ONPM的對角線OP=10是一個定值，從而得出四邊形PEOF的面積為定值，并求出結果．

解答：解：（1）過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
又∵P為∠AOB的平分線OC上的任意一點，
∴PM=PN．
在△PME與△PNF中，∠EMP=∠FNP=90°，PM=PN，∠EPM=∠FPN=90°-∠EPN，
∴△PME≌△PNF，
∴PE=PF；

（2）∵∠OMP=∠MON=∠ONP=90°，
∴四邊形ONPM是矩形，
∵PM=PN，
∴矩形ONPM是正方形．
由（1）知△PME≌△PNF，
∴四邊形PEOF的面積=正方形ONPM的面積．
又∵OP=10，
∴正方形ONPM的面積=10×10÷2=50，
∴四邊形PEOF的面積=50．

點評：本題綜合考查了角平分線的性質，全等三角形的判定及面積的計算，難度中等．