Question

已知一次函數y₁=x+m的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點．已知當x＞1時，y₁＞y₂；當0＜x＜1時，y₁＜y₂．
（1）求一次函數的解析式；
（2）已知雙曲線在第一象限上有一點C到y軸的距離為3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據x＞1時，y₁＞y₂，0＜x＜1時，y₁＜y₂確定點A的橫坐標，然后代入反比例函數解析式求出點A的縱坐標，從而得到點A的坐標，再利用待定系數法求直線解析式解答；
（2）根據點C到y軸的距離判斷出點C的橫坐標，代入反比例函數解析式求出縱坐標，從而得到點C的坐標，過點C作CD∥x軸交直線AB于D，求出點D的坐標，然后得到CD的長度，再聯立一次函數與雙曲線解析式求出點B的坐標，然后△ABC的面積=△ACD的面積+△BCD的面積，列式進行計算即可得解．
解答：解：（1）∵當x＞1時，y₁＞y₂；當0＜x＜1時，y₁＜y₂，
∴點A的橫坐標為1，
代入反比例函數解析式，=y，
解得y=6，
∴點A的坐標為（1，6），
又∵點A在一次函數圖象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函數的解析式為y₁=x+5；

（2）∵第一象限內點C到y軸的距離為3，
∴點C的橫坐標為3，
∴y==2，
∴點C的坐標為（3，2），
過點C作CD∥x軸交直線AB于D，
則點D的縱坐標為2，
∴x+5=2，
解得x=-3，
∴點D的坐標為（-3，2），
∴CD=3-（-3）=3+3=6，
點A到CD的距離為6-2=4，
聯立，
解得（舍去），，
∴點B的坐標為（-6，-1），
∴點B到CD的距離為2-（-1）=2+1=3，
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21．
點評：本題考查了反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，根據已知條件先判斷出點A的橫坐標是解題的關鍵．