Question

（2009•陜西）如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：從已知條件結合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段和的最小值．
解答：解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE．
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME與△AMN中，，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，
又AB=4，∠BAC=45°，此時，△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值為4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案為：4．
點評：本題考查了軸對稱的應用．易錯易混點：解此題是受角平分線啟發，能夠通過構造全等三角形，把BM+MN進行轉化，但是轉化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉化為點到直線的距離而導致錯誤．
規律與趨勢：構造法是初中解題中常用的一種方法，對于最值的求解是初中考查的重點也是難點．