Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC＝60°，將一直角三角板MON的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）求∠CON的度數；

（2）如圖2是將圖1中的三角板繞點O以每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周的情況．在旋轉的過程中，當第t秒時，三條射線OA、OC、OM構成相等的角，求此時t的值；

（3）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部時，請探究∠AOM與∠CON的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）6或15或24；（3）∠AOM﹣∠CON＝30°，理由見解析

【解析】

（1）根據角的和差即可得到結論；

（2）在圖2中，要分三種情況討論：①當∠AOC＝∠COM＝60°時，②當∠AOM＝∠COM＝30°時，③當∠AOC＝∠AOM＝60°時，根據角的和差即可得到結論；

（3）當ON在∠AOC內部時，根據角的和差即可得到結論．

解：（1）由圖1可知∠AOC＝60°，∠AON＝90°，

∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+90°＝150°；

（2）在圖2中，要分三種情況討論：

①當∠AOC＝∠COM＝60°時，此時旋轉角∠BOM＝60°，

由10°t＝60°，解得t＝6，

②當∠AOM＝∠COM＝30°時，此時旋轉角∠BOM＝150°，

由10°t＝150°，解得t＝15；

③當∠AOC＝∠AOM＝60°時，此時旋轉角∠BOM＝240°，

由10°t＝240°，解得t＝24．

綜上所述，得知t的值為6或15或24；

（3）當ON在∠AOC內部時，∠AOM﹣∠CON＝30°，

其理由是：設∠AON＝x°，則有∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝（90﹣x）°，

∠CON＝∠AOC﹣∠AON＝（60﹣x）°，

∴∠AOM﹣∠CON＝（90﹣x）°﹣（60﹣x）°＝30°．