Question

如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點A、B，與正比例函數的圖象相交于點C、D（點C在點D的左側），⊙O是以CD長為半徑的圓。CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點E。
（1）△CDE是    ▲   三角形；點C的坐標為    ▲   ，點D的坐標為    ▲   （用含有b的代數式表示）；
（2）b為何值時，點E在⊙O上？
（3）隨著b取值逐漸增大，直線與⊙O有哪些位置關系？求出相應b的取值范圍。

Answer 1

（1）等腰直角；；。（2）時，點E在⊙O上（3）見解析

解：（1）等腰直角；；。
（2）當點E在⊙O上時，如圖，連接OE。則OE=CD。

∵直線與x軸、y軸相交于點A（－b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，
∴△DCE、△BDO是等腰直角三角形。
∵整個圖形是軸對稱圖形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45⁰。
∵CE∥x軸，DE∥y軸，
∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形。
∴OE=AC=BD。
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD。
過點C作CF⊥x軸，垂足為點F。
則△AFC∽△AOB。∴。∴。
∴，解得。
∵，∴。
∴當時，點E在⊙O上。
（3）當⊙O與直線相切于點G時，
如圖 ，連接OG。

∵整個圖形是軸對稱圖形，
∴點O、E、G在對稱軸上。
∴GC=GD=CD=OG=AG。∴AC=CG=GD=DB。∴AC=AB。
過點C作CH⊥x軸，垂足為點H。 則△AHC∽△AOB。
∴。∴。
∴，解得。
∵，∴。
∴當時，直線與⊙O相切；
當時，直線與⊙O相離；
當時，直線與⊙O相交。
（1）∵直線與x軸、y軸相交于點A（－b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，
∴△DCE是等腰直角三角形。
解得，或。
∵點C在點D的左側，∴點C的坐標為，點D的坐標為。
（2）連接OE，過點C作CH⊥x軸于點H。由整個圖形是軸對稱圖形，可求得OE=AC=BD=CD。由△AFC∽△AOB可求得，代入CF、BO關于b的關系式求解即得所求。
（3）討論直線與⊙O相切時，b的取值即可得到直線與⊙O的位置關系。
當⊙O與直線相切于點G時，連接OG，過點C作CH⊥x軸于點H。由整個圖形是軸對稱圖形，可求得AC=CG=GD=DB，即AC=AB。由△AHC∽△AOB可求得，代入CH、BO關于b的關系式求解即得⊙O與直線相切時相應b的值。從而得到直線與⊙O相離和相交時相應b的取值范圍。