Question

如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
①求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
②探索下列問題，并選擇一個(gè)進(jìn)行證明．
a．原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足

AC⊥BD

時(shí)，四邊形EFGH是矩形．
b．原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足

AC=BD

時(shí)，四邊形EFGH是菱形．
c．原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足

AC⊥BD且AC=BD

時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：①首先連接AC，BD，由三角形中位線的性質(zhì)，可判定EH∥FG，GH∥EF，繼而可證得四邊形EFGH是平行四邊形．
②a、由①可得當(dāng)原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形．
b、由①可得原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．
c、由a與b可得：原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

解答：解：①連接AC，BD，
∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，
∴EH∥FG，
同理：GH∥EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

②a、當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形．
∵由①得：四邊形MONH是平行四邊形，
∴當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形MONH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．

b、當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．
∵HG=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，
∴EH=GH，
∴四邊形EFGH是菱形；

c、由a與b可得：原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．
故答案為：a、AC⊥BD，b、AC=BD，c、AC⊥BD且AC=BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．