Question

如圖，已知在□ABCD中，AB⊥AC，AB=OA，BC=,對角線AC、BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC、AD于點EF.

（1）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試證明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數.

 

Answer 1

【答案】

（1）當旋轉角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；

（2）根據平行四邊形的性質證得△AOF≌△COE即可；（3）45度.

【解析】

試題分析：（1）當旋轉角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；

（2）根據平行四邊形的性質證得△AOF≌△COE即可；

（3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據勾股定理求得AC=2，則OA=1=AB，又AB⊥AC，即可求得結果．

（1）當∠AOF=90°時，AB∥EF，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

在△AOF和△COE中

∵∠FAO=∠ECO，AO=CO，∠AOF=∠ECO

∴△AOF≌△COE（ASA）

∴AF=EC；

（3）四邊形BEDF可以是菱形．

理由：如圖，連接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF與BD互相平分．

∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．

在Rt△ABC中，

∴OA=1=AB，

又∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．

考點：旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，勾股定理

點評：本題知識點較多，綜合性強，是中考常見題，難度不大，學生需熟練掌握平面圖形的基本概念.