Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=90°，AC=BC=2，
（1）要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由．
（2）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s₁；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為s₂（如圖2），則s₂=______；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為s₃，繼續操作下去…，則第10次剪取時，s₁₀=______；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．

Answer 1

（1）解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，S_{正方形CFDE}=1²=1
如圖乙，設MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，
∴3x=2

2

，
解得x=

2 2

3

∴S正方形PNMQ=(

2 2

3

)2=

8

9

又∵1＞

8

9

∴甲種剪法所得的正方形面積更大．
說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，S_{正方形OFDE}=1．

解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1，
如圖乙，設MN=x，則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，
則3x=2

2

，
解得x=

2 2

3

，
又∵1＞

2 2

3

，即EC＞MN．
∴甲種剪法所得的正方形面積更大．

（2）S2=

1

2

，S10=

1

29

．

（3）解法1：探索規律可知：Sn=

1

2n-1

剩余三角形面積和為2-（S₁+S₂+…+S₁₀）=2-（1+

1

2

+…+

1

29

）=

1

29

解法2：由題意可知，
第一次剪取后剩余三角形面積和為2-S₁=1=S₁
第二次剪取后剩余三角形面積和為S1-S2=1-

1

2

=

1

2

=S2，
第三次剪取后剩余三角形面積和為S2-S3=

1

2

-

1

4

=

1

4

=S3，
…
第十次剪取后剩余三角形面積和為S9-S10=S10=

1

29

．