Question

【題目】一個四邊形被一條對角線分割成兩個三角形，如果被分割的兩個三角形相似，我們被稱為該對角線為相似對角線．

（1）如圖1，正方形的邊長為4，E為的中點，，連結.，求證：為四邊形的相似對角線．

（2）在四邊形中，，，，平分，且是四邊形的相似對角線，求的長．

（3）如圖2，在矩形中，，，點E是線段（不取端點A.B）上的一個動點，點F是射線上的一個動點，若是四邊形的相似對角線，求的長．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）或；（3）或或3

【解析】

（1）根據已知中相似對角線的定義，只要證明△AEF∽△ECF即可；
（2）AC是四邊形ABCD的相似對角線，分兩種情形：△ACB△ACD或△ACB△ADC，分別求解即可；
（3）分三種情況①當△AEF和△CEF關于EF對稱時，EF是四邊形AECF的相似對角線．②取AD中點F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長CD′交AB于E，則可得出 EF是四邊形AECF的相似對角線．③取AB的中點E，連接CE，作EF⊥AD于F，延長CB交FE的延長線于M，則可證出EF是四邊形AECF的相似對角線．此時BE=3；

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵E為的中點，，

∴AE=DE=2，

∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，

∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，

∴△AEF∽△ECF，
∴EF為四邊形AECF的相似對角線．

（2）∵平分，

∴∠BAC=∠DAC =60°

∵AC是四邊形ABCD的相似對角線，
∴△ACB△ACD或△ACB△ADC
①如圖2，當△ACB△ACD時，此時，△ACB≌△ACD

∴AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，

②當△ACB△ADC時，如圖3

∴∠ABC=∠ACD

∴AC2=ABAD，
∵,

∴6=3AD，
∴AD=2，
過點D作DHAB于H

在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，

在Rt△BDH中，

綜上所述，的長為：或

（3）①如圖4，當△AEF和△CEF關于EF對稱時，EF是四邊形AECF的相似對角線，

設AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，
解得x=，
∴BE=AB-AE=6-=．
②如圖5中，如圖取AD中點F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長CD′交AB于E，則 EF是四邊形AECF的相似對角線．

∵△AEF∽△DFC，

∴

③如圖6，取AB的中點E，連接CE，作EF⊥AD于F，延長CB交FE的延長線于M，則EF是四邊形AECF的相似對角線．則 BE=3．

綜上所述，滿足條件的BE的值為或或3．