Question

【題目】有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，因此正方形是四邊相等，四角相等的四邊形．
初二數學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．

（1）求證：DP=DQ
（2）如圖②，小聰在圖①的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發現PE和QE存在一定的數量關系，請猜測他的結論并予以證明；

（3）如圖③，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小聰算出△DEP的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ．

在△ADP與△CDQ中，

∴△ADP≌△CDQ（ASA），

∴DP=DQ

（2）

證明：猜測：PE=QE．

證明：由（1）可知，DP=DQ．

在△DEP與△DEQ中，

∴△DEP≌△DEQ（SAS），

∴PE=QE

（3）

解：∵AB：AP=3：4，AB=6，

∴AP=8，BP=2．

與（1）同理，可以證明△ADP≌△CDQ，

∴CQ=AP=8．

與（2）同理，可以證明△DEP≌△DEQ，

∴PE=QE．

設QE=PE=x，則BE=BC+CQ﹣QE=14﹣x．

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，

即：22+（14﹣x）2=x2，

解得：x= ，即QE= ．

∴S△DEQ= QECD= × ×6= ．

∵△DEP≌△DEQ，

∴S△DEP=S△DEQ=

【解析】（1）證明△ADP≌△CDQ，即可得到結論：DP=DQ；（2）證明△DEP≌△DEQ，即可得到結論：PE=QE；（3）與（1）（2）同理，可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的長度，從而可求得S△DEQ= ，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ ．
【考點精析】掌握全等三角形的性質是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．