Question

【題目】如圖，AB是直經，D是的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）試探究AE，AD，AB三者之間的等量關系．

（3）若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD2=AEAB；（3）BF=．

【解析】

（1）根據圓的性質可知∠ACB=90°，從而結合DE⊥AC證明出BC∥DE，再利用點D是的中點得出∠COD=∠BOD，進一步證明OD垂直平分BC，然后利用平行線性質即可證明出結論；

（2）根據題意首先證明△AED∽△ADB，然后利用相似三角形性質進一步求解即可；

（3）根據題意可得四邊形CHDE為矩形，然后進一步根據圖形結合勾股定理可得AE=AC+CE=9，最后通過證明△EAD∽△BAF進一步求解即可.

如圖，連接OC，OD，BC，OD與BC交于點H，

（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°．

∵DE⊥AC于E，

∴∠E=90°，

∴∠ACB=∠E，

∴BC∥DE．

∵點D是的中點，

∴，

∴∠COD=∠BOD，

又∵OC=OB，

∴OD垂直平分BC．

∵BC∥DE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）AD2=AEAB．理由如下：

由（1）知，，

∴∠EAD=∠DAB．

∵AB為直徑，

∴∠ADB=∠E=90°，

∴△AED∽△ADB，

∴，

即AD2=AEAB；

（3）由（1）知，∠E=∠ECH=∠CHD=90°，

∴四邊形CHDE為矩形，

∴ED=CH=BH=3，

∴OH=，

∴CE=HD=OD﹣OH=5﹣4=1，AC=，

∴AE=AC+CE=9．

∵BF是⊙O的切線，

∴∠FBA=∠E=90°，

又∵∠EAD=∠DAB，

∴△EAD∽△BAF，

∴，

即，

BF=．