Question

【題目】如圖，一次函數y＝﹣x+7的圖象與正比例函數y＝x的圖象交于點A，點P（t，0）是x正半軸上的一個動點．

（1）點A的坐標為（　 　，　 　）；

（2）如圖1，連接PA，若△AOP是等腰三角形，求點P的坐標：

（3）如圖2，過點P作x軸的垂線，分別交y＝x和y＝﹣x+7的圖象于點B，C．是否存在正實數，使得BC＝OA，若存在求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，3）；（2）P（5，0）或（8，0）或（，0）；（3）t＝．

【解析】

（1）解方程組即可得到結論；

（2）根據勾股定理得到OA＝＝5，當OP＝OA＝5時，△AOP是等腰三角形，當AP＝OA＝5時，△AOP是等腰三角形，當OP＝PA時，△AOP是等腰三角形，于是得到結論；

（3）由P（t，0），得到B（t，t），C（t，﹣t+7），根據BC＝OA，解方程即可得到結論．

解：（1）解得，

∴點A的坐標為（4，3），

故答案為：（4，3）；

（2）∵A（4，3），

∴OA＝＝5，

當OP＝OA＝5時，△AOP是等腰三角形，

∴P（5，0），

當AP＝OA＝5時，△AOP是等腰三角形，

則OP＝8，

∴P（8，0）；

當OP＝PA時，△AOP是等腰三角形，

則點P在OA的垂直平分線上，

如圖1，設OA的垂直平分線交OA于H，

∴OH＝OA＝，

過A作AG⊥x軸于G，

∴△OPH∽△OAG，

∴，

∴，

∴OP＝，

∴P（，0），

綜上所述，P（5，0）或（8，0）或（，0）；

（3）∵P（t，0），

∴B（t，t），C（t，﹣t+7），

∵BC＝OA，

∴﹣t+7﹣t＝×5或t+t﹣7＝×5，

解得：t＝﹣或t＝，

∵t＞0，

∴t＝．