Question

【題目】如圖，AB 是⊙ O 的直徑，點 C 是⊙ O 上的一點，點 D 是弧 BC 的中點，連接 AC， BD，過點 D 作 AC 的垂線 EF，交 AC 的延長線于點 E，交 AB 的延長線于點 F.．

（1）依題意補全圖形；

（2）判斷直線 EF 與⊙ O 的位置關系，并說明理由

（3）若 AB=5，BD=3，求線段 BF 的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線EF是⊙O的切線，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）連接BC，OD交于點H，證明BC∥EF，根據OD⊥BC可得OD⊥EF，即可證得直線EF是⊙O的切線；

（3）設OH＝x，在Rt△OHB和Rt△BHD中，利用勾股定理構建方程求出OH，進而可得AC，AE的長，然后由BC∥EF，利用平行線分線段成比例定理列式求出BF即可．

解：（1）如圖所示；

（2）直線EF是⊙O的切線；

理由：如圖，連接BC，OD交于點H，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠E＝90°，

∴BC∥EF，

∵點D是弧BC的中點，

∴OD⊥BC，

∴OD⊥EF，

∴直線EF是⊙O的切線；

（3）如圖，∵AB＝5，BD＝3，

∴OB＝OD＝，

設OH＝x，則DH＝，

在Rt△OHB中，由勾股定理得：，

在Rt△BHD中，由勾股定理得：，

∴，解得：，

∴，，

∵O是AB中點，H是BC中點，

∴AC＝2OH＝，

易證四邊形HCED是矩形，則，

∴AE＝，

∵BC∥EF，

∴，即，

∴．