Question

如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB邊上，過點E作EF⊥BC，延長FE交⊙O的切線AG于點G．

（1）求證：GA=GE．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OA，

∵AG切⊙O點A，

∴∠GAO=90°．

∴∠BAO+∠GAE=90°．………………………………………1

∵EF⊥BC，       

∴∠ABO+∠BEF=90°．

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO．

∴∠GAE=∠BEF．

∵∠BEF=∠GEA，

∴∠GEA=∠GAE．

∴GA=GE．……………………………………………………2

（2）解：∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，

∴BC=10，…………………………………………………………………………………………3

∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，

∴△BEF∽△BCA，

∴

∴EF=，BF=，

∴OF=OB﹣BF=5﹣=，……………………………………………………………………4

∴OE=．……………………………………………………………………5