Question

（2009•青海）請閱讀，完成證明和填空．
九年級數學興趣小組在學校的“數學長廊”中興奮地展示了他們小組探究發現的結果，內容如下：

（1）如圖1，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發現BN=CM，且∠NOC=60度．請證明：∠NOC=60度．
（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN=______，且∠DON=______度．
（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、EM，那么AN=______，且∠EON=______度．
（4）在正n邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結論．
請大膽猜測，用一句話概括你的發現：______．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC，又因BM=AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°；
（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°；
（3）同（1），利用三角形全等可知在正五邊形中，AN=EM，∠EON=108°；
（4）以上所求的角恰好等于正n邊形的內角．（10分）
解答：（1）證明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM，（2分）
∴∠ABN=∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC=60°，
∴∠BCM+∠OBC=60°，
∴∠NOC=60°；

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB，
又∵AM=BN，
∴△ABN≌△DAM，
∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BAN+∠AMD=90°
∴∠AOM=90°；即∠DON=90°．

（3）解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠A=∠B，AB=AE，
又∵AM=BN，
∴△ABN≌△EAM，
∴AN=ME，
∴∠AEM=∠BAN，
∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°；

（4）解：以上所求的角恰好等于正n邊形的內角．（10分）
注：學生的表述只要合理或有其它等價且正確的結論，均給分．本題結論著重強調角和角的度數．
點評：本題需仔細分析圖形，利用三角形全等即可解決問題，本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．