Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y=ax2+bx﹣a2關(guān)于y軸對(duì)稱且有最小值﹣1．

（1）求拋物線C1的解析式；

（2）在圖1中拋物線C1頂點(diǎn)為A，將拋物線C1繞 點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2，直線y=kx﹣2k+4總經(jīng)過一定點(diǎn)M，若過定點(diǎn)M的直線與拋物線C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的解析式．

（3）如圖2，先將拋物線 C1向上平移使其頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，再將其頂點(diǎn)沿直線y=x平移得到拋物線C3，設(shè)拋物線C3與直線y=x交于C、D兩點(diǎn)，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1（2）過定點(diǎn)M，共有三條直線l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它們分別與拋物線C3只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）

【解析】試題分析： 根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為軸，求得拋物線有最小值，可求得，即可求出拋物線的解析式.

依題意可求出拋物線的解析式為： 由直線總經(jīng)過一定點(diǎn)M，可求得定點(diǎn)M為，①經(jīng)過定點(diǎn)與軸平行的直線： 與拋物線總有一個(gè)公共點(diǎn)．②經(jīng)過定點(diǎn)的直線為一次函數(shù)時(shí)，與聯(lián)立方程組，利用可得得 的值，即可得出 或，綜上所述，過定點(diǎn)M，共有三條直線它們分別與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，依題意可得拋物線的解析式為： 與直線聯(lián)立，可得的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作∥軸，過點(diǎn)D作DM∥y軸，可求出 即可得出的值．

試題解析：（1）拋物線的對(duì)稱軸為軸，

解得

拋物線的解析式為

當(dāng)拋物線有最小值，即 解得： 或（舍去）．

拋物線的解析式

（2）拋物線的解析式

設(shè)拋物線與x軸的令一個(gè)交點(diǎn)為．

令得： 解得：

將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，

∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)的解析式為將代入得： 解得

的解析式為

直線總經(jīng)過一定點(diǎn)M，

∴定點(diǎn)M為，

①經(jīng)過定點(diǎn)與軸平行的直線： 與拋物線總有一個(gè)公共點(diǎn)．

②將與聯(lián)立得： 整理得：

∵過定點(diǎn)M的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

解得

∴過定點(diǎn)M的直線的解析式為 或，

綜上所述，過定點(diǎn)M，共有三條直線l： 或 或，它們分別與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（3）以平移后拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則直線和拋物線在新坐標(biāo)系的解析式為 與

將與聯(lián)立，解得： 或

∴點(diǎn)和點(diǎn)在新坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為