Question

某電器經營業主計劃購進一批同種型號的掛式空調和電風扇，若購進8臺空調和20臺電風扇，需要資金17400元，若購進10臺空調和30臺電風扇，需要資金22500元．
（1）求掛式空調和電風扇每臺的采購價各是多少元？
（2）該經營業主計劃購進這兩種電器共70臺，而可用于購買這兩種電器的資金不超過30000元，根據市場行情，銷售一臺這樣的空調可獲利200元，銷售一臺這樣的電風扇可獲利30元．該業主希望當這兩種電器銷售完時，所獲得的利潤不少于3500元．
①試問該經營業主有哪幾種進貨方案？
②設該業主計劃購進空調t臺，這兩種電器銷售完后，所獲得的利潤為W元、求W關于t的函數解析式，并利用函數的性質說明哪種方案獲利最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設掛式空調和電風扇每臺的采購價格分別為x元和y元，根據購進8臺空調和20臺電風扇，需要資金17400元，若購進10臺空調和30臺電風扇，需要資金22500元可以列出方程組

8x+20y=17400 10x+30y=22500

，解方程組即可求出結果；
（2）①設該業主計劃購進空調t臺，則購進電風扇（70-t）臺，根據購買這兩種電器的資金不超過30000元，根據市場行情，銷售一臺這樣的空調可獲利200元，銷售一臺這樣的電風扇可獲利30元．該業主希望當這兩種電器銷售完時，所獲得的利潤不少于3500元可以列出不等式組

1800t+150(70-t)≤30000 200t+30(70-t)≥3500

，解不等式組即可求出哪幾種進貨方案．
②設這兩種電器銷售完后，所獲得的利潤為W，則根據已知條件可以列出W與t的函數關系式，利用函數的性質和①的結果即可求出哪種方案獲利最大，最大利潤是多少．

解答：解：（1）設掛式空調和電風扇每臺的采購價格分別為x元和y元
依題意，得

8x+20y=17400 10x+30y=22500

解得

x=1800 y=150

即掛式空調和電風扇每臺的采購價分別為1800元和150元；

（2）①設該業主計劃購進空調t臺，則購進電風扇（70-t）臺，
依題意得

1800t+150(70-t)≤30000 200t+30(70-t)≥3500

，
解得：8

4

17

≤t≤11

9

11

，
∵t為整數，
∴t為9，10，11，
故有三種進貨方案，分別是：
方案一：購進空調9臺，電風扇61臺；
方案二：購進空調10臺，電風扇60臺；
方案三：購進空調11臺，電風扇59臺．
②設這兩種電器銷售完后，所獲得的利潤為W，
則W=200t+30（70-t）=170t+2100，
由于W隨t的增大而增大．
故當t=11時，W有最大值，W_最大=170×11+2100=3970，
即選擇第3種進貨方案獲利最大，最大利潤為3970元．

點評：此題分別考查了二元一次方程組、不等式組、一次函數的性質等知識，綜合性比較強，能力要求比較高，平時要求學生多注意這些煩惱的訓練．