Question

有一個二次函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為24．
請你確定滿足上述全部特點的一個二次函數解析式．

Answer 1

分析：設二次函數的圖象與x軸的交點坐標為（x₁，0），（x₂，0），解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）．利用對稱軸方程的定義可知x₁+x₂=8、由已知條件“與x軸兩個交點的橫坐標都是整數”可設x₁=2，x₂=6（此時，x₁、x₂的值不唯一），由此可以求得該函數圖象與y軸的交點；最后根據三角形的面積公式列出關于a的方程，通過解方程可以求得a值．

解答：解：（這是一道開放性題，答案不惟一）設二次函數的圖象與x軸的交點坐標為（x₁，0），（x₂，0），解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）．
由甲可知x₁+x₂=8，由乙可知x₁，x₂都是整數，不妨設x₁=2，x₂=6，
∴y=a（x-2）（x-6）=a（x²-8x+12）；
令x=0，則y=12a，
∴與y軸的交點為（0，12a）；
由丙可知，S_△=

1

2

（ x₂-x₁）•12a=24，
∴24a=24，
∴a=1，
∴y=x²-8x+12．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題．此題屬于開放型題目，答案不唯一．解題時可以根據x₁+x₂=8靈活取x₁、x₂的整數值．