Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直線為軸，為坐標原點，建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD繞A點按順時針方向旋轉得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分別是A、B、C、D旋轉后的對應點）（如圖）.

⑴在直線DC上是否存在一點，使為等腰三角形，若存在，寫出出點的坐標，若不存在，請說明理由.

⑵將等腰梯形ABCD沿軸的正半軸平行移動，設移動后的（0<x≤6），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為，求與之間的函數關系式.并求出重疊部分的面積的最大值。

 

Answer 1

【答案】

⑴P（-2，2），P（0，2）⑵①當0＜x≤2時，y=x； 當2≤x≤4時；y=－x+2x-2 ；當4≤x≤6時；y=－x+4x-6  ②2

【解析】（1）①EP=FP時，作出EF的垂直平分線，易得點P的坐標和D坐標重合為（-2，2），

②EP=EF時，與直線CD無交點，舍去這種情況；

EF=FP時，可得P坐標為CD與y軸的交點為（0，2）

∴P（-2，2），P（0，2）；

（2）①當0＜x≤2時，y=x；   

當2≤x≤4時；y=－x+2x-2

當4≤x≤6時；y=－x+4x-6  

②當0＜x≤2時，y=x 當x＝2時，y最大＝1，　

當2≤x≤4時；y=－x+2x-2＝－（x－4）+2　　當x＝4時，y最大＝2　

當4≤x≤6時；y=－x+4x-6＝－（x－4）2+2　　當x＝4時，y最大＝2　

綜上可知：當x＝4時，重疊部分的面積y最大＝2　

（1）易得D（-2，2），△EFP為等腰三角形，應分情況進行探討．EP=FP時，作出EF的垂直平分線，易得點P的坐標和D坐標重合為（-2，2），EP=EF時，與直線CD無交點，舍去這種情況，EF=FP時，可得P坐標為CD與y軸的交點為（0，2）；

（2）易得F（2，4），G（2，2），作出等腰梯形的兩條高，得到等腰梯形是上底為2，高為2．當移動距離為0-2時，重合部分是三角形，底邊為x，高為0.5x，易得面積；移動距離為2-4時，重合部分是四邊形，可讓梯形面積減去直角三角形面積；移動距離為4-6時，重合部分是三角形，易求得高與底邊．