Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

(1)求證：AD=BC；

(2)求證：△AGD∽△EGF；

(3)如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求AD:EF的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由線段垂直平分線的性質得出GA=GB，GD=GC，由SAS證明△AGD≌△BGC，得出對應邊相等即可；

（2）先證出∠AGB=∠DGC，由，證出△AGB∽△DGC，得出比例式，再證出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；

（3）延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGB=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值．

試題解析：（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）證明：∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中， ，

∴△AGB∽△DGC，

∴，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF；

（3）延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，如圖所示：

則AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴，

又∵△AGD∽△EGF，

∴=．