Question

【題目】如圖，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB邊上取一點D，使AD＝BC，作AD的垂直平分線，交AC邊于點F，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設BC＝x．

（1）求證：四邊形AGDH為菱形；

（2）若EF＝y，求y關于x的函數關系式；

（3）連結OF，CG．

①若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

②若BC＝3，則CG+9＝______．（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y＝x2（x＞0）；（3）①π或8π或（2+2）π；②4．

【解析】

（1）根據線段的垂直平分線的性質以及垂徑定理證明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要證明△AEF∽△ACB，可得解決問題；
（3）①分三種情形分別求解即可解決問題；
②只要證明△CFG∽△HFA，可得=，求出相應的線段即可解決問題；

（1）證明：∵GH垂直平分線段AD，

∴HA＝HD，GA＝GD，

∵AB是直徑，AB⊥GH，

∴EG＝EH，

∴DG＝DH，

∴AG＝DG＝DH＝AH，

∴四邊形AGDH是菱形．

（2）解：∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠ACB＝90°，

∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，

∴，

∴，

∴y＝x2（x＞0）．

（3）①解：如圖1中，連接DF．

∵GH垂直平分線段AD，

∴FA＝FD，

∴當點D與O重合時，△AOF是等腰三角形，此時AB＝2BC，∠CAB＝30°，

∴AB＝，

∴⊙O的面積為π．

如圖2中，當AF＝AO時，

∵AB＝＝，

∴OA＝，

∵AF＝＝，

∴＝，

解得x＝4（負根已經舍棄），

∴AB＝，

∴⊙O的面積為8π．

如圖2﹣1中，當點C與點F重合時，設AE＝x，則BC＝AD＝2x，AB＝，

∵△ACE∽△ABC，

∴AC2＝AEAB，

∴16＝x，

解得x2＝2﹣2（負根已經舍棄），

∴AB2＝16+4x2＝8+8，

∴⊙O的面積＝πAB2＝（2+2）π

綜上所述，滿足條件的⊙O的面積為π或8π或（2+2）π；

②如圖3中，連接CG．

∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，

∴AB＝5，

∴OH＝OA＝，

∴AE＝，

∴OE＝OA﹣AE＝1，

∴EG＝EH＝＝，

∵EF＝x2＝，

∴FG＝﹣，AF＝＝，AH＝＝，

∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，

∴△CFG∽△HFA，

∴，

∴，

∴CG＝﹣，

∴CG+9＝4．

故答案為4．