Question

【題目】已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F．

（1）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFB=______，如圖2，若∠ACD=90°，則∠AFB=______，如圖3，若∠ACD=α，則∠AFB=______（用含α的式子表示）；

（2）設∠ACD=α，將圖3中的△ACD繞點C順時針旋轉任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），如圖4，試探究∠AFB與α的數量關系，并予以說明．

Answer 1

【答案】（1）120°，90°，180°-α；（2）∠AFB=180°-α，理由見解析

【解析】

（1）如圖1，先根據SAS證明△BCD≌△ECA，從而得到∠EAC=∠BDC，再根據三角形外角性質求出其度數．如圖2，先根據HL證明△ACE≌△DCB，從而得到∠AEC=∠DBC，進而得出∠AFB的度數．如圖3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的內角和定理得∠CAE=∠CDB，從而得出∠DFA=∠ACD，從而求得∠AFB；
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再根據SAS證明△ACE≌△DCB，從而得到∠CBD=∠CEA，再根據三角形內角和定理得到結論．

（1）如圖1，CA=CD，∠ACD=60°，

∴△ACD是等邊三角形．

∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴△ECB是等邊三角形．

∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，

又∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD．

∵AC=DC，CE=BC，

∴△ACE≌△DCB（SAS）．

∴∠EAC=∠BDC．

又∵∠AFB是△ADF的外角．

∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．

如圖2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，

∴△ACE≌△DCB（HL）．

∴∠AEC=∠DBC，

又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，

∴∠EFD=90°．

∴∠AFB=90°．

如圖3，∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

∴∠CAE=∠CDB．

∴∠DFA=∠ACD．

∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

（2）∠AFB=180°-α；理由如下：

證明：∵∠ACD=∠BCE=α，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，

∵ ，

∴△ACE≌△DCB（SAS）．

∴∠CBD=∠CEA，

∴∠EFB=∠ECB=α．

∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．