Question

已知如圖，拋物線與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A．

（1）請求出點A坐標和⊙P的半徑；

（2）請確定拋物線的解析式；

（3）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D．若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

（1）∵OA是⊙P的切線，OC是⊙P的割線．

∴OA²=OB×OC     即OA²＝1×4

∴OA＝2    即點A點坐標是(0，2)

連接PA，過P作PE交OC于E顯然，四邊形PAOE為矩形，

故PA＝OE

∵PE⊥BC   ∴BE=CE   又BC=3，故BE＝

∴PA＝OE=OB＋BE＝1＋＝即⊙P的半徑長為．

（2）拋物線的解析式是： 

（3）根據題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩

種情況  

①∠ABD和∠AOB對應，此時AD

是⊙P的直徑則AB=，AD=5

∴BD=2

∵Rt△AMB∽Rt△DAB

∴MA：AD=AB：BD  

即MA= 

∵Rt△AMB∽Rt△DMA ∴MA：MD=MB：MA

即MB·MD=MA²=②∠BAD和∠AOB對應，此時BD是

⊙P的直徑，所以直線MB過P點

∵B（1，0），P（

∴直線MB的解析式是：

 

∴M點的坐標為（0，

∴ AM=  由△MAB∽△MDA  得MA：MD=MB：MA

∴MB·MD=MA²=